Найти производную dy/dx| y=x^2 ln(tg√2x)

Найдём производную данной функции:

y = x^2 * ln (tg √2x).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(ln x)’ = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(tg x)’ = 1 / (cos^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (x^2 * ln (tg √2x))’ = (x^2)’ * ln (tg √2x) + x^2 * (ln (tg √2x))’ = (x^2)’ * ln (tg √2x) + x^2 * (tg √2x)’ * (ln (tg √2x))’ = (x^2)’ * ln (tg √2x) + x^2 * (√2x)’ * (tg √2x)’ * (ln (tg √2x))’ = 2 * x^(2 – 1) * ln (tg √2x) + x^2 * √2 * (1 / (cos^2 √2x) * (1 / (tg √2x)) = 2xln (tg √2x) + (√2x^2 / (cos^2 √2x)(tg √2x)).

Ответ: y\' = 2xln (tg √2x) + (√2x^2 / (cos^2 √2x)(tg √2x)).