Найти промежутки возрастания и убывания экстремумы функции f (x)=x4-2x+4

Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции, нужно найти производную функции, приравнять к нулю (найти нули функции) и определить знаки получившихся промежутков на числовой прямой. Если производная положительна, то функция возрастает, а если производная отрицательна, то функция убывает.

f(x) = x^4 - 2x + 4. Найдем производную:

f`(x) = 4х^3 - 2.

Найдем нули производной: f`(x) = 0; 4х^3 - 2 = 0.

Решаем уравнение:

перенесем (-2) в правую часть: 4х^3 = 2;

поделим уравнение на 4: х^3 = 2/4; х^3 = 1/2.

Отсюда х = ³√1/2 (корень третьей степени из 1/2).

Получается два промежутка: (-∞; ³√1/2) и (³√1/2; +∞).

Определим знаки:

(- ∞; ³√1/2); пусть  х = 0; 4 * 0^3 - 2 = -2, знак (-), функция убывает.

(³√1/2; + ∞), пусть х = 1; 4 * 1^3 - 2 = 4 -2 = 2, знак (+), функция возрастает.

Значит, х(минимальный) = ³√1/2.