Вычислить производную в заданной точке F(x)=1-20x/1+20x F'(0)=?

Найдём производную функции: F(x) = (1 - 20x) / (1 + 20x).

(x^n)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (1 - 20x)’ = (1)’ – (20x)’ = 0 – 20 * x^(1 – 1) = - 20 * x^0 = - 20 * 1 = - 20;

2) (1 + 20x)’ = (1)’ + (20x)’ = 0 + 20 * x^(1 – 1) = 20 * x^0 = 20 * 1 = 20.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

F(x)’ = ((1 - 20x) / (1 + 20x))’ = ((1 - 20x)’ * (1 + 20x) - (1 - 20x) * (1 + 20x)’) / (1 + 20x)^2 = (- 20 * (1 + 20x) - (1 - 20x) * 20) / (1 + 20x)^2 = (- 20 - 400x - 20 + 400x) / (1 + 20x)^2 = - 40 / (1 + 20x)^2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

F(0)’ = - 40 / (1 + 20 * 0)^2 = - 40 / (1 + 0)^2 = - 40 / 1 = - 40.

Ответ: F(x)’ = - 40 / (1 + 20x)^2, а F(0)’ = - 40.