X^2 -|x| -9/(|x| -1) <=0

(х² - |x| - 9)/(|x| - 1) ≤ 0.

Определим значение х, где модуль меняет знак: х = 0.

1) х > 0. Раскрываем модули со знаком (+).

(х² - x - 9)/(x - 1) ≤ 0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается две системы: х² - x - 9 ≤ 0; х - 1 > 0 (а) и х² - x - 9 ≥ 0; х - 1 < 0 (б).

а) х² - x - 9 ≤ 0; х - 1 > 0 (х > 1).

Рассмотрим функцию у = х² - x - 9, это кв. парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² - x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (√D = √37).

х₁ = (1 - √37)/2 (~ -2,5).

х₂ = (1 + √37)/2 (~ 3,5).

Так как неравенство имеет знак ≤, то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [(1 - √37)/2; (1 + √37)/2].

Объединяем со вторым неравенством х > 1, решение системы: (1; (1 + √37)/2].

б) х² - x - 9 ≥ 0; х - 1 < 0 (х < 1).

Корни параболы равны:

х₁ = (1 - √37)/2 (~ -2,5).

х₂ = (1 + √37)/2 (~ 3,5).

Так как неравенство имеет знак ≥, то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-∞; (1 - √37)/2] и [(1 + √37)/2; +∞).

Объединяем со вторым неравенством х < 1, решение системы: (-∞; (1 - √37)/2] не входит в промежуток х > 0.

2) х < 0. Раскрываем модули со знаком (-).

(х² + x - 9)/(-x - 1) ≤ 0.

Получается две системы: х² + x - 9 ≤ 0; -х - 1 > 0 (а) и х² + x - 9 ≥ 0; -х - 1 < 0 (б).

а) х² + x - 9 ≤ 0; -х - 1 > 0.

Рассмотрим функцию у = х² + x - 9, это кв. парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² + x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (√D = √37);

х₁ = (-1 - √37)/2 (~ -3,5).

х₂ = (-1 + √37)/2 (~ 2,5).

Так как неравенство имеет знак ≤, то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [(-1 - √37)/2; (-1 + √37)/2].

Объединяем со вторым неравенством -х - 1 > 0, х < -1,  решение системы: [(-1 - √37)/2; -1).

б) х² + x - 9 ≥ 0; -х - 1 < 0.

Корни параболы равны:

х₁ = (-1 - √37)/2 (~ -3,5).

х₂ = (-1 + √37)/2 (~ 2,5).

Так как неравенство имеет знак ≥, то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-∞; (-1 - √37)/2] и [(-1 + √37)/2; +∞).

Объединяем со вторым неравенством -х - 1 < 0, х > -1, решение системы:  [(-1 + √37)/2; +∞) не входит в промежуток x < 0.

Ответ: х принажлежит промежуткам [(-1 - √37)/2; -1) и (1; (1 + √37)/2].