Является ли прогрессией выражение x = 5 ^ (n + 1 )

Решение:

Рассмотрим 2 случая:

1. Предположим, что заданная последовательность x = 5^{(n + 1)} - арифметическая прогрессия. Знаем, что n ∈ N:

n = 1, x₁ = 5² = 25;

n = 2, x₂ = 5³ = 125;

n = 3, x₃ = 5² = 625; ...; x_{n - 1} = 5^{(n - 1 + 1)}  = 5ⁿ;

x_n = 5^{(n + 1)}  = 5 · 5ⁿ .

Зависимость между членами прогрессии:

x₂ = x₁ + d => d = x₂ - x₁;

Аналогично:

d = x₃ - x₂; ....; d = x_n - x_{n - 1} => x₂ - x₁ = x₃ - x₂ = ... = x_n - x_{n - 1} => 125 - 25 = 625 - 125 = ... = 5 · 5ⁿ - 5ⁿ, но 100 ≠ 500 ≠ ... ≠ 4·5ⁿ  => x = 5^{(n + 1)} - не арифметическая прогрессия.

1 . Предположим, что x = 5^{(n + 1)} - геометрическая  прогрессия. Рассуждаем также, выражаем зависимость между членами прогрессии:

x₂ = x₁ · q => q = x₂ : x₁;

q = x₃ : x₂; ...; q = x_n : x_{n - 1}.

По аналогии:

 x₂ : x₁ = x₃ : x₂ = ... = x_n : x_{n - 1} => 125 : 25 = 625 : 125 = ... = 5 · 5ⁿ : 5ⁿ => 5 = 5 = ... = 5 => последовательность x = 5^{(n + 1)} - геометрическая прогрессия.

Ответ: последовательность x = 5^{(n + 1)} - геометрическая прогрессия.