составить уравнение касательной к графику функции у=(3х-2)/(х+1) параллельных прямой, проходящей через точки (1;8) и

Составим уравнение прямой, проходящей через точки (1; 8) и (-1; -2).

Уравнение прямой имеет вид у = kx + b.

у = 8; х = 1. 8 = k + b.

у = -2; х = -1. -2 = -k + b.

Получается система уравнений: 8 = k + b и -2 = -k + b. Выразим b из первого уравнения и подставим во второе.

b = 8 - k.

-2 = -k + 8 - k.

-2k = -10.

k = 5; b = 8 - 5 = 3.

Уравнение прямой имеет вид у = 5х + 3.

Найдем точки, через которые пройдет касательная к графику функции, параллельная прямой.

Находим производный обеих функций и приравниваем.

 у = (3х - 2)/(х + 1); у\' = ((3х - 2)\'(х + 1) - (3х - 2)(х + 1)\')/(х + 1)² = (3(х + 1) - (3х - 2))/(х + 1)² = (3х + 3 - 3х + 2)/(х + 1)² = 5/(х + 1)².

у = 5х + 3; у\' = 5.

5/(х + 1)² = 5;

(х + 1)² = 1.

x² + 2х + 1 = 1.

x² + 2х = 0;

х(х + 2) = 0.

х = 0 или х = -2.

Уравнение касательной имеет вид у = f(x₀) + f\'(x₀)(x - x₀).

1) х₀ = 0.

f(x₀) = f(0) = (3х - 2)/(х + 1) = (3 * 0 - 2)/(0 + 1) = -2.

f\'(x₀) = f\'(0) = 5/(х + 1)² = 5/(0 + 1)² = 5.

Уравнение касательной: у = -2 + 5(х - 0) = 5х - 2.

2) х₀ = -2.

f(x₀) = f(-2) = (3 * (-2) - 2)/(-2 + 1) = 8.

f\'(x₀) = f\'(-2) = 5/(-2 + 1)² = 5.

Уравнение касательной: у = 8 + 5(х + 2) = 5х + 18.

Ответ: у = 5х - 2 и у = 5х + 18.