Y=sin^2(корень x в 6 степени) y'=?

Найдём производную данной функции: y = sin^2 (x^(1 / 6)).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (sin^2 (x^(1 / 6)))’ = (x^(1 / 6))’ * (sin (x^(1 / 6)))’ * (sin^2 (x^(1 / 6)))’ = ((1 / 6) * x^((1 / 6) - 1) * cos (x^(1 / 6)) * 2 * sin^(2 – 1) (x^(1 / 6)) = ((1 / 6) * x^(-5 / 6)) * cos (x^(1 / 6)) * 2 * sin (x^(1 / 6)) = (1 / 6x^(5 / 6)) * 2 * cos (x^(1 / 6)) * sin (x^(1 / 6)).

Сократим выражение, воспользовавшись формулой двойного угла (sin 2x = 2sin x * cos x):

y' = (1 / 6x^(5 / 6)) * 2 * cos (x^(1 / 6)) * sin (x^(1 / 6)) = (1 / 6x^(5 / 6)) * sin (2x^(1 / 6)) = sin (2x^(1 / 6)) / 6x^(5 / 6)).

Ответ: y' = sin (2x^(1 / 6)) / 6x^(5 / 6)).