Найти наибольшее и наименьшее значение f(x)=x^3-2x^2+1. [0.5;бесконечность] f(x)=2x+6это все род корнем -x. [-3;бесконечность]

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1, на промежутке [0,5; +∞].

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции.

f’(x) = (x^3 - 2x^2 + 1)’ = 3x^2 – 4x.

Точки экстремума

f’ = 0:

3x^2 – 4x = 0,

x (3x – 4) = 0,

x = 0,

x = 4/3.

Получим: х = 0 и x = 4/3 – точки экстремума функции.

При х < 0, f’ > 0, функция возрастает.

При 0 < х < 4/3, f’ < 0, функция убывает.

При х > 4/3, f’ > 0, функция возрастает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Точка х = 0 не принадлежит промежутку [0,5; +∞].

При х = 0,5, у = (0,5)^3 – 2 * (0,5)^2 + 1 = 0,125 – 0,5 + 1 = 0,625.

При х = 4/3, у = (4/3)^3 – 2 * (4/3)^2 + 1 = 64/27 – 32/9 + 1 = (64 – 96 + 27) / 9 = -5/9.

При х = +∞, у = +∞.

Таким образом, yнаим = у(4/3) = -5/9, yнаиб = у(+∞) = +∞.

Ответ: yнаим = -5/9, yнаиб = +∞.

f(x) = √(2x + 6) – х на промежутке [-3; +∞].

Область определения: 2х + 6 > 0, х > -3.

Найдем производную функции.

f’(x) = (√(2x + 6) – х)’ = 1/(2√(2x + 6)) - 1.

Точки экстремума

f’ = 0:

1/(2√(2x + 6)) - 1 = 0,

1/(2√(2x + 6)) = 1,

2√(2x + 6) = 1,

√(2x + 6) = 0,5,

2х + 6 = 0,25,

2х = 0,25 – 6,

х = -23/8.

f’ не существует при 2х + 6 = 0, х = -3.

Получим: х = -23/8 и x = -3 – точки экстремума функции.

При х < -3, f’ и f(x) не существует.

При -3 < х < -23/8, f’ > 0, функция возрастает.

При х > -23/8, f’ < 0, функция убывает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

При х = -3, у = √(-6 + 6) + 3 = 3.

При х = -23/8, у = √(-23/4 + 6) + 23/8 = 0,5 + 2,875 = 3,375.

При х = +∞, у = -∞.

Таким образом, yнаим = у(+∞) = -∞, yнаиб = у(-23/8) = 3,375.

Ответ: yнаим = -∞, yнаиб = 3,375.