Доказать, что сумма чисел 2 в 2011 степени и 3 в 2011 степени кратна числу 5.

   1. Представим число 2011 в виде:

      2011 = 2008 + 3 = 4 * 502 + 1.

   2. Составим сравнение для каждой степени:

   a) 2^2011;

• 2^4 ≡ 16 (mod 5);
• 2^4 ≡ 1 (mod 5);
• 2^(4 * 502) ≡ 1 (mod 5);
• 2^2008 ≡ 1 (mod 5);
• 2^2011 ≡ 8 (mod 5);
• 2^2011 ≡ 3 (mod 5). (1)

   b) 3^2011;

• 3^4 ≡ 81 (mod 5);
• 3^4 ≡ 1 (mod 5);
• 3^(4 * 502) ≡ 1 (mod 5);
• 3^2008 ≡ 1 (mod 5);
• 3^2011 ≡ 27 (mod 5);
• 3^2011 ≡ 2 (mod 5). (2)

   3. Сложим сравнения (1) и (2):

• 2^2011 + 3^2011 ≡ 3 + 2 (mod 5);
• 2^2011 + 3^2011 ≡ 0 (mod 5).

   2^2011 + 3^2011 делится на 5.

   Утверждение доказано.