(X^3-8X^2+7X)/(1-X)=0

1) Определим область допустимых значений х.

Так как на 0 делить нельзя, то значение выражения, стоящего в знаменателе, не может быть равно 0:

1 - х ≠ 0;

х ≠ 1;

ОДЗ: х є (-∞; 1) U (1; +∞).

2) Вынесем за скобки общий множитель:

х * (х^2 - 8х + 7)/(1 - х) = 0.

3) Сократим уравнение на (1 - х):

х * (х^2 - 8х + 7) = 0.

4) Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0:

х = 0 или х^2 - 8х + 7 = 0.

5) Один корень заданного уравнения найден: х₁ = 0.

6) Чтобы найти остальные корни, необходимо решить квадратное уравнение х^2 - 8х + 7 = 0.

По теореме Виета:

х₁ + х₂ = 8;

х₁ * х₂ = 7, где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения.

Подбором находим, что х₁ = 7, х₂ = 1.

7) х = 1 не является корнем заданного уравнения, так как не входит в ОДЗ.

8) Получаем, что заданное уравнение имеет два решения: х₁ = 0 и х₂ = 7.

9) Обязательно делаем проверку:

при х = 0

(0^3 - 8 * 0^2 + 7 * 0)/(1 - 0) = 0;

(0 - 0 + 0)/1 = 0;

0/1 = 0;

0 = 0, верно;

при х = 7

(7^3 - 8 * 7^2 + 7 * 7)/(1 - 7) = 0;

(343 - 392 + 49)/(-6) = 0;

0/(-6) = 0,

0 = 0, верно.

Ответ: х₁ = 0; х₂ = 7.