1. Упростите выражение а) 1/3 корень 18 + 3 корень 8 - корень 98 б) 2 корень 5 (корень 20 - 3 корень 5) в) (3+2 корень

1) а) 1/3√18 + 3√8 - √98.

Нужно представить число под корнем в виде произведения множителей, из которых вычисляется квадратный корень (хотя бы из одного).

1/3√18 + 3√8 - √98 = 1/3√(9 * 2) + 3√(4 * 2) - √(49 * 2) = 1/3 * √9 * √2 + 3 * √4 * √2 - √49 * √2 = 1/3 * 3 * √2 + 3 * 2 * √2 - 7 * √2 = √2 + 6√2 - 7√2 = (1 + 6 - 7)√2 = 0 * √2 = 0.

б) 2√5(√20 - 3√5).

Раскрываем скобки:

2√5(√20 - 3√5) = 2√5 * √20 - 2√5 * 3√5 = 2√100 - 6√25 = 2 * 10 - 6 * 5 = 20 - 30 = -10.

в) (3 + 2√7)^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы.

(3 + 2√7)^2 = 3^2 + 2 * 3 * 2√7 + (2√7)^2 = 9 + 6√7 + 4 * 7 = 9 + 6√7 + 28 = 37 + 6√7.

г) (√11 + 2√7)^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы.

(√11 + 2√7)^2 = (√11)^2 + 2 * √11 * 2√7 + (2√7)^2 = 11 + 4√77 + 28 = 39 + 4√77.

2. Сравнить 8√(3/4) и 1/3√405.

Внесем числа перед корнем под знак квадратного корня.

√(64 * 3/4) и √(1/9 * 405);

√(192/4) и √(405/9);

√48 и √45. Видно, что первое число больше, значит 8√(3/4) > 1/3√405.

3) а) (√3 - 3)/(3√2 - √6).

Каждое число можно представить в виде корня: 3 = √3 * √3.

(√3 - √3 * √3)/(√3 * √3 * √2 - √3 * √2).

Вынесем общие множители за скобку:

√3(1 - √3)/√3 * √2(√3 - 1).

Вынесем минус за скобку в числителе:

-√3(√3 - 1)/√3 * √2(√3 - 1).

Выполняем сокращение, остается -1/√2.

Умножаем и числитель, и знаменатель на √2, чтобы избавиться от иррациональности:

-1/√2 = -√2/2.

б) (9a - b^2)/(9a - 6b√a + b^2).

Представим а как (√а)^2.

(9a - b^2)/(9a - 6b√a + b^2) =((3√а)^2 - b^2)/((3√a)^2 - 2 * 3√a * b + b^2).

Числитель раскладываем на множители по формуле разности квадратов, а знаменатель сворачиваем по формуле квадрата разности.

(3√а - b)(3√а + b)/((3√a - b)^2.

Выполняем сокращение, остается (3√а + b)/(3√a - b).

4) а) 15/2√6.

Избавимся от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на √6.

15/2√6 = (15 * √6)/(2 * √6 * √6) = 15√6/12 = 5√6/4.

б) 19/(2√5 - 1).

Избавимся от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на (2√5 + 1).

19(2√5 + 1)/(2√5 - 1)(2√5 + 1) = 19(2√5 + 1)/((2√5)^2 - 1^2) = 19(2√5 + 1)/(20 - 1) = 19(2√5 + 1)/19 = 2√5 + 1.