Решить алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел: z^{2} +6z+10=0; \\ z ^{3} +3 z^{2} +3 z+9=0[/tex]

1) z^2 + 6z + 10 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 6; c = 10;

D = b^2 - 4ac; D = 6^2 - 4 * 1 * 10 = 36 - 40 = -4 (отрицательный дискриминант, корней нет).

2) z^3 + 3z^2 + 3z + 9 = 0.

Попробуем разложить многочлен на множители при помощи схемы Горнера:

выписываем делители свободного члена (это 9): 1, -1, 3, -3, 9, -9.

Выписываем коэффициенты (числа перед z): 1, 3, 3, 9.

Пробуем (-1): -1 * 1 + 3 = 2; -1 * 2 + 3 = 1; -1 * 1 + 9 = 8 (не подходит).

Пробуем (-3): -3 * 1 + 3 = 0; -3 * 0 + 3 = 3; -3 * 3 + 9 = 0 (подходит).

Значит, первая скобка будет (z + 3), а во вторую собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1:

(z + 3)(z^2 + 3) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

z + 3 = 0; z = -3.

Или z^2 + 3 = 0; z^2 = -3 (не может быть, квадрат числа всегда положительный).

Ответ: z = -3.