Sin x + sin 2x =cos x +2 cos ^2x Найти корни уравнения, принадлежащие полуинтервалу ( -3Π/4;Π]

Перенесем все в левую часть уравнения:

sinx + sin2x - cosx - 2cos²x = 0.

Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx.

sinx + 2sinxcosx - cosx - 2cos²x = 0.

Разложим на множители методом группировки. Вынесем у первой пары одночленой sinx, у второй пары (-cosx).

sinx(1 + 2cosx) - cosx(1 + 2cosx) = 0.

Вынесем (1 + 2cosx) за скобку.

(1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0.

Отсюда 1 + 2cosx = 0; cosx = -1/2; х = ±2П/3 + 2Пn, n - целое число.

Или sinx - cosx = 0. Поделим на cosx (ОДЗ: cosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn), получается tgx - 1 = 0; tgx = 1; x = П/4 + Пn, n - целое число.

Отберем корни уравнения, которые входят в промежуток (-3Π/4; Π]: П/4, 2П/3, -2П/3.