При каких значениях m уравнение имеет единственный корень: 1999^2x-4*1999^x-3m+m^2=0

   1. Обозначим:

      3m + m^2 = p;

      1999^x = y. (1)

   Уравнение (1) имеет одно решение при y > 0, и не имеет решения при y ≤ 0.

   2. Получим уравнение:

      1999^(2x) - 4 * 1999^x - 3m + m^2 = 0; (2)

      y^2 - 4y - p = 0. (3)

      D/4 = 2^2 + p = p + 4;

      y = 2 ± √(p + 4).

   3. Меньший корень уравнения (3) не должен быть положительным:

• {p + 4 ≥ 0;{2 - √(p + 4) ≤ 0;
• {p + 4 ≥ 0;{√(p + 4) ≥ 2;
• {p + 4 ≥ 0;{p + 4 ≥ 4;

      p + 4 ≥ 4;

      p ≥ 0.

      3m - m^2 ≥ 0;

      m(3 - m) ≥ 0;

      m ∈ [0; 3].

   Ответ. Уравнение (2) имеет единственный корень при значениях параметра  m ∈ [0; 3].