Вычислите производную тригонометрической функции при х=П/8 f(x)=cos2x(1+sin2x)

Найдём производную функции: f(x) = cos 2x * (1 + sin 2x).

Воспользовавшись формулами:

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x)’ = - sin x (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)’ = (cos 2x * (1 + sin 2x))’ = (cos 2x)’ * (1 + sin 2x) + cos 2x * (1 + sin 2x)’ = (2x)’ * (cos 2x)’ * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1)’ + (sin 2x)’) = (2x)’ * (cos 2x)’ * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1)’ + (2x)’ * (sin 2x)’) = 2 * (- sin 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * (0 + 2 * cos 2x) = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + cos 2x * 2cos 2x = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x.

Вычислим значение производной в точке х0 = π / 8:

f(π / 8)’ = - 2sin (2 * π / 8) * (1 + sin (2 * π / 8)) + 2cos^2 (2 * π / 8) = - 2sin (π / 4) * (1 + sin (π / 4)) + 2cos^2 (π / 4) = - 2 * (√2 / 2) * (1 + (√2 / 2)) + 2 *(√2 / 2) = - √2 * (1 + (√2 / 2)) + √2 = - √2 + 1 + √2 = 1.

Ответ: f(x)’ = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x, a f(π / 8)’ = 1.