1) x2-10x+21<0; 2) 3x2-14x+16<=0; 3) 5x2-6x+1>=0; 4) x2 -8x+16>0; 5) x2-5x+16<0; 6) x2+12x+21<0

1) x^2 - 10x + 21 < 0. 

Рассмотрим функцию у = x^2 - 10x + 21, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 10x + 21 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: х₁ + х₂ = 10; х₁ * х₂ = 21.

Корни равны 7 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 3 и 7, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (3; 7).

2) 3x^2 - 14x + 16 <= 0.

Рассмотрим функцию у = 3x^2 - 14x + 16, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3x^2 - 14x + 16 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = -14; c = 16;

D = b^2 - 4ac; D = (-14)^2 - 4 * 3 * 16 = 196 - 192 = 4 (√D = 2);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (14 - 2)/(3 * 2) = 12/6 = 2;

х₂ = (14 + 2)/6 = 16/6 = 8/3 = 2 2/3.

Отмечаем на числовой прямой точки 2 и 2 2/3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак <= 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [2; 2 2/3].

3) 5x^2 - 6x + 1 >= 0.

Рассмотрим функцию у = 5x^2 - 6x + 1, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 5x^2 - 6x + 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 5; b = -6; c = 1;

D = b^2 - 4ac; D = (-6)^2 - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (6 - 4)/(2 * 5) = 2/10 = 0,2;

х₂ = (6 + 4)/10 = 10/10 = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки 0,2 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак >= 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 0,2] и [1; +∞).

4) x^2 - 8x + 16 > 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 8x + 16, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 8x + 16 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: х₁ + х₂ = 8; х₁ * х₂ = 16.

Корень уравнения равен 4.

Отмечаем на числовой прямой точки 4, схематически рисуем параболу, она касается оси х в точке 4 (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится выше прямой, число 4 не входит в промежуток, то есть (-∞; 4) и (4; +∞).

5) x^2 - 5x + 16 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 5x + 16 , это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 5x + 16 = 0.

Вычислим дискриминант: D = 25 - 64 = -39. Дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось х, она находится выше оси х (потому что ветви вверх), знак неравенства < 0, решения неравенства нет.

6) x^2 + 12x + 21 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 12x + 21, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 + 12x + 21= 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 12; c = 21;

D = b^2 - 4ac; D = 12^2 - 4 * 1 * 21 = 144 - 84 = 60 (√D = √60 = √(4 * 15) = 2√15);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (-12 - 2√15)/2 = -6 - √15;

х₂ = (-12 + 2√15)/2 = -6 + √15.

Отмечаем на числовой прямой точки (-6 - √15) и (-6 + √15), схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-6 - √15; -6 + √15).