|x^2-5*x+3| + |x^2+2*x-3| < 10

|x^2 - 5x + 3| + |x^2 + 2x - 3| < 10.

Определим значения х, где модули меняют знаки.

I модуль: x^2 - 5x + 3 = 0; D = 25 - 12 = 13 (√D = √13);

х₁ = (5 + √13)/2 (~ 4,3); x₂ = (5 - √13)/2 (~ 0,7).

Так как у = x^2 - 5x + 3 это квадратичная парабола (ветви вверх), то:

(-∞; (5 - √13)/2) модуль положительный;

((5 - √13)/2; (5 + √13)/2) модуль отрицательный;

((5 + √13)/2; +∞) модуль положительный.

II модуль: x^2 + 2x - 3 = 0; D = 4 + 12 = 16; подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -2; х₁ * х₂ = -3. Корни равны (-3) и 1.

Так как у = x^2 + 2x - 3 это квадратичная парабола (ветви вверх), то:

(-∞; -3) модуль положительный;

(-3; 1) модуль отрицательный;

(1; +∞) модуль положительный.

Все пространство разбивается на интервалы:

(-∞; -3); (-3; (5 - √13)/2); ((5 - √13)/2; 1); (1; (5 + √13)/2) и ((5 + √13)/2; +∞).

Раскрываем модули в соответствии со знаками на каждом промежутке:

1) (-∞; -3) I и II - оба (+).

x^2 - 5x + 3 + x^2 + 2x - 3 < 10;

2x^2 - 3x - 10 < 0.

D = 9 + 80 = 89.

х₁ = (3 - √89)/4 (~ -4,6).

x₂ = (3 + √89)/4 (~ 3,1) - сторонний корень, не входит в промежуток.

2) (-3; (5 - √13)/2) I (+), II (-).

x^2 - 5x + 3 - x^2 - 2x + 3 < 10;

 -7x + 6 < 10;

-7х < 4; х > -4/7.

Объединяем интервал и решение неравенства. Ответ: (-4/7; (5 - √13)/2).

3) ((5 - √13)/2; 1) I (-), II (-).

-x^2 + 5x - 3 - x^2 - 2x + 3 < 10;

-2x^2 + 3x - 10 < 0;

2x^2 - 3x + 10 > 0.

D = 9 - 80 = -71 (корней нет), парабола (ветви вверх) не пересекает ось х, знак неравенства > 0. Решение неравенства: (-∞; +∞).

Объединяем интервал и решение неравенства. Ответ: ((5 - √13)/2; 1).

4) (1; (5 + √13)/2) I (-), II (+).

-x^2 + 5x - 3 + x^2 + 2x - 3 < 10.

7х - 6 < 10;

7х < 10 + 6;

х < 16/7; х < 2 2/7.

Объединяем интервал и решение неравенства. Ответ: (1; 2 2/7).

5) ((5 + √13)/2; +∞) I (+), II (+).

Корни будут (см. выше, п.1):

х₁ = (3 - √89)/4 (~ -4,6) - сторонний корень.

x₂ = (3 + √89)/4 (~ 3,1) - сторонний корень.

Окончательный ответ: х = (3 - √89)/4; (-4/7; (5 - √13)/2); ((5 - √13)/2; 1); (1; 2 2/7).