Разложите многочлен на множители: а) а(а+6) - (2b-3)(2b+3); б) 4х(х+3) - (5у+3)(5у-3).

Решение:

а). Раскроем скобки:

а(а + 6) - (2b - 3)(2b + 3) = а² + 6а - (4b² - 9) = а² + 6а - 4b² + 9.

Сгруппируем слагаемые и «свернём» по формуле квадрата суммы (а + b)² = (а² + 2ab + b²):

(а² + 6а + 9) - 4b² = (а² + 2 ∙ 3а + 3²) - 4b² = (а + 3)² - 4b².

Далее по формуле а² - b² = (a - b)(а + b):

(а + 3)² - 4b² = (а + 3)² – (2b)² = (а + 3 – 2b)(а + 3 + 2b).

б). Аналогично раскладываем на множители выражение:

4х(х + 3) - (5у + 3)(5у - 3) = 4х² + 12х - (25у² - 9) = 4х² + 12х - 25у² + 9 = (4х² + 2 ∙ 2 ∙3х + 3²) - 25у² = (2х + 3)² – (5у)² = (2х + 3 – 5у) (2х + 3 + 5у).

Ответ: а). а(а + 6) - (2b - 3)(2b + 3) = (а – 2b + 3)(а + 2b + 3); б). 4х(х + 3) - (5у + 3)(5у - 3) = (2х – 5у + 3) (2х + 5у + 3).