Найдите точку максимума функции f(x)=-х^2+3х-ln(2x)

1. Найдём первую производную функции у = х^2 + 3х - ln(2x):

y\' = 2x + 3 - 2/2x = 2x + 3 - 1/x.

2. Приравняем эту производную к нулю:

2х + 3 - 1/х = 0;

2х^2 + 3х - 1 = 0;

х ≠ 0.

D = b^2 - 4ac = 9 + 4 * 2 * 1 = 9 + 8 = 17.

D > 0, уравнение имеет два корня.

х1 = (-b + √D)/2a = (-3 + √17)/6 = -1/2 + √17/6;

x2 = (-b - √D)/2a = (-3 - √17)/6 = -1/2 - √17/6.

3. Определим знаки производной функции на интервалах (-∞; -1/2 -√17/6), (-1/2 -√17; 0), (0; 1/2 + √17), (1/2 + √17; +∞):

у(-2) = -4 + 3 + 1/2 = -4 + 3,5 = -0,5 < 0;

у(-1) = -2 + 3 + 1 = 2 > 0;

у(0,1) = 0,2 + 3 - 10 = -6,8 < 0;

у(1) = 2 + 3 - 1 = 4 > 0.

В точке х = 0 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это точка максимума.

Ответ: 0.