2cos^2 * 2x + cos2x + cos6x = 1

2cos^2(2x) + cos(2x) + cos(6x) = 1.

Произведем замену, пусть 2х = а.

2cos^2а + cosа + cos3а = 1.

Используем формулу косинуса тройного угла: cos(3α) =  4cos^3(α) − 3cos(α).

2cos^2а + cosа + 4cos^3а − 3cosа - 1 = 0.

4cos^3а + 2cos^2а - 2cosа - 1 = 0.

Произведем еще одну замену, пусть cosа = t.

4t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0.

Разложим многочлен на множители методом группировки:

2t^2(2t + 1) - 1(2t - 1) = 0.

(2t^2 - 1)(2t - 1) = 0.

Отсюда 2t^2 - 1 = 0; 2t^2 = 1; t^2 = 1/2; t = 1/√2 = √2/2 и t = -1/√2 = -√2/2.

Или 2t - 1 = 0; 2t = 1; t = 1/2.

Вернемся к замене cosа = t.

1) t = √2/2.

cosа = √2/2; а = ±arccos(√2/2) + 2Пn, n - целое число.

2) t = -√2/2.

cosа = -√2/2; а = ±arccos(-√2/2) + 2Пn, n - целое число.

3) t = 1/2.

cosа = 1/2; а = 2П/3 + 2Пn, n - целое число.

И а = -2П/3 + 2Пn, n - целое число.

Вернемся к замене 2х = а.

1) а = ±arccos(√2/2) + 2Пn;

2х = ±arccos(√2/2) + 2Пn;

х = ±arccos(√2/2)/2 + Пn, n - целое число.

2) а = ±arccos(-√2/2) + 2Пn;

2х = ±arccos(-√2/2) + 2Пn;

х = ±arccos(-√2/2)/2 + Пn, n - целое число.

3) а = 2П/3 + 2Пn;

2х = 2П/3 + 2Пn;

х = П/3 + Пn, n - целое число.

4) а = -2П/3 + 2Пn;

2х = -2П/3 + 2Пn;

х = -П/3 + Пn, n - целое число.