найдите f'(1/2),если f(x)=(x^2+1)^2

Найдём производную данной функции: y = (x^2 + 1)^2.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((x^2 + 1)^2)’ = (x^2 + 1)’ * ((x^2 + 1)^2)’ = ((x^2)’ + (1)’) * ((x^2 + 1)^2)’ = (2 * x^(2 – 1) + 0) * 2 * (x^2 + 1)^(2 – 1) = (2 * x^1) * 2 * (x^2 + 1)^1 = 4x * (x^2 + 1).

Вычислим значение производной в точке х0 = 1 / 2:

y\' (1 / 2) = 4 * 1 * (1^2 + 1) = 4 * (1 + 1) = 4 * 2 = 8.

Ответ: y\' = 4x * (x^2 + 1), а y\' (1 / 2) = 8.