Найти наибольшее значение произведения двух положительных чисел,если сумма их кубов равна 16.

   1. Продифференцируем обе части уравнения:

      x^3 + y^3 = 16; (1)

      d(x^3 + y^3) = d(16);

      d(x^3) + d(y^3) = 0;

      3x^2dx + 3y^2dy = 0;

      x^2dx + y^2dy = 0;

      y^2dy = -x^2dx;

      dy = -(x^2/y^2)dx. (2)

   2. Обозначим произведение чисел x и y:

      z = xy. (3)

   Продифференцируем уравнение (3) и подставим значение dy:

• dz = d(xy);
• dz = xdy + ydx;
• dz = -x(x^2/y^2)dx + ydx;
• dz = -(x^3/y^2)dx + ydx;
• dz = (y - x^3/y^2)dx;
• dz = ((y^3 - x^3)/y^2)dx;
• dz = ((16 - 2x^3)/y^2)dx;
• dz/dx = 2(8 - x^3)/y^2. (4)

   3. Из уравнения (4) найдем точки экстремума для произведения чисел:

      8 - x^3 = 0;

      x^3 = 8; x = 2.

      y^3 = 8; y = 2;

   Наибольшее значение z:

      z = xy = 2^2 = 4.

   Ответ: 4.