Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.Сумма малого катета и гипотенуза равно 2,64 см. Найдите длину

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в которого один угол прямой, т.е равен 90 градусов. Сторона, лежащая напротив прямого угла является гипотенузой, а стороны, лежащие напротив острых углов являются катетами.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов. Если один острый угол равен 60°, то второй острый угол равен 90° - 60° = 30°. 

Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла, а больший катет - напротив большего острого угла. Значит, наш меньший катет лежит напротив угла 30°. Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.

Пусть меньший катет равен х см, тогда гипотенуза равна 2х см. По условию задачи известно, что сумма меньшего катета и гипотенузы равна (х + 2х) см или 2,64 см. Составим уравнение и решим его.

х + 2х = 2,64;

3х = 2,64;

х = 2,64 : 3;

х = 0,88 (см) - катет;

2х = 0,88 * 2 = 1,76 (см) - гипотенуза. 

Ответ. 1,76 см.

Сведения, необходимые для решения данной задачи:

• Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
• В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, и, наоборот, - напротив меньшего угла лежит меньшая сторона.
• Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла в 60° равен 1/2.

Выполним рисунок для наглядного представления.

https://bit.ly/2EKUFot

Пусть треугольник АВС - прямоугольный (угол С = 90°). Угол А = 60­°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит угол В = 180° - (90° + 60°) = 30°. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, поэтому катет АС будет наименьшим.

Когда в задаче есть несколько неизвестных (в данном случае, неизвестен ни катет, ни гипотенуза), целесообразно решить задачу при помощи уравнения. Введем обозначения, пусть гипотенуза АВ будет равна Х. Следовательно, катет АС будет равен (2,64 - х), так как их сумма равна 2,64 см.

Выразим косинус угла А: cosA = АС/АВ.

Так как угол А равен 60°, а косинус 60° равен 1/2, получается уравнение:

1/2 = (2,64 - х)/х.

По правилу пропорции: х = 5,28 - 2х.

х + 2х = 5,28.

3х = 5,28.

х = 5,28/3 = 1,76 (см). За х мы принимали гипотенузу треугольника.

Ответ: гипотенуза треугольника равна 1,76 см.