Разложить на множители (y - z)^3 + (z - x)^3 + (x - y)^3

Решение:

1. Раскрываем скобки по формуле куб разности (а – b)³ = а ³ – 3а ²b + 3аb² – b³ и приводим подобные слагаемые:

(y – z)³ + (z – x)³ + (x – y)³ = y³ – 3y²z  + 3yz² – z³ + z ³ – 3z ²x + 3zx² – x³ + x ³ – 3x ²y + 3xy² – y³ = y³ – 3y²z  + 3yz² – z³ + z ³ – 3z ²x + 3zx² – x³ + x ³ – 3x ²y + 3xy² – y³ = – 3y²z  + 3yz² – 3z ²x + 3zx² – 3x ²y + 3xy².

1. Объединяем по три слагаемых и выносим общие множители за скобку:

(– 3y²z  + 3yz² – 3z ²x) + (3zx² – 3x ²y + 3xy²) = – 3z (y² – yz + z x) + 3x(zx – xy + y²).

1. Применим распределительный закон умножения c(a + b) = ca + cb следующим образом:

– 3z ((y² + z x) – yz) + 3x((zx + y²) – xy) = – 3z(y² + z x) + 3z²y + 3x(y² + z x) – 3х²y.

1. Объединим первое и третье слагаемые, вынесем за скобку 3(y² + z x); объединим третье и четвёртое слагаемые, вынесем за скобку (– 3y) и разложим z² – х² как разность квадратов:

3(y² + z x)(x –z) + 3z²y – 3х²y = 3(y² + z x)(x –z) – 3y(х² – z²) = 3(y² + z x)(x –z) – 3y(х – z)(х + z).

1. За скобку вынесем 3(х – z) и упростим:

3(y² + z x)(x –z) – 3y(х – z)(х + z) = 3(х – z)[(y² + z x) – y(х + z)] = 3(х – z)(y² + z x – yх – y z).

1. Во второй скобке сгруппируем пары: первое и третье, второе и четвёртое слагаемые. Вынесем в парах общие множители y и (– z):

3(х – z)((y² – yх) + (z x – y z)) = 3(х – z)(y(y – х) – z(y – х)).

1. В этой же скобке выносим общее выражение (y – х) и получаем произведение трёх выражений:

3(х – z)(y – х)(y – z).

Ответ: (y – z)³ + (z – x)³ + (x – y)³ = 3(х – z)(y – х)(y – z).