Найти производную y=x²+1/²√x³-3

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = (x^2 + 1) / (x^(3 / 2) – 3).

Воспользовавшись основными формулами дифференцирования и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v².

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)\' = ((x^2 + 1) / (x^(3 / 2) – 3))’ = ((x^2 + 1)’ * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * (x^(3 / 2) – 3)’) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = ((x^2)’ + (1)’) * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * ((x^(3 / 2))’ – (1)’) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = (2x + 0) * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * ((3 / 2) * x^(1 / 2) – 0) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = (2x^2 – 6x – (3x^(3 / 2) / 2 + ((3x^(1 / 2) / 2) / (x^(3 / 2) – 3)^2.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(x)\' = (2x^2 – 6x – (3x^(3 / 2) / 2 + ((3x^(1 / 2) / 2) / (x^(3 / 2) – 3)^2.

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции f(x)  = (x² + 1) / (²√x³ - 3).

Для вычисления нашей производной будем использовать следующие правила и основные формулы дифференцирования

• (xⁿ)’ = n * x^(n-1).
• (√x)’ = 1 / 2√x.
• (с)’ = 0, где с – const.
• (с * u)’ = с * u’, где с – const.
• (u ± v)’ = u’ ± v’.
• (u / v)’ = (u’v - uv’) / v².

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = (x² + 1) / (²√x³ - 3).

Эту функцию можно записать так: f(x) = (x² + 1) / (x^{(3 / 2)} - 3).

Чтобы найти производную нашей данной функции будем использовать, основные формулы дифференцирования и правило дифференцирования, а запишем это так:

f(x)\'  = ((x² + 1) / (x^{(3 / 2)} - 3))’ = ((x² + 1)’ * (x^{(3 / 2)} - 3) – (x² + 1) * (x^{(3 / 2)} - 3)’) / (x^{(3 / 2)} - 3)² .

Для того чтобы вычислить нашу производную используем формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Продифференцируем нашу данную функцию.

Вычислим производную поэтапно:

1. Вычислим производную от «(x² + 1)’»:

• производная от «x²» – это будет «2 * 1 * x^{(2 – 1)} = 2 * x¹ = 2 * x = 2x»;
• «1» – это const, то есть согласно правила дифференцирования «1» остается;
• следовательно, у нас получается, что (x² + 1)’ = (x²)’ + (1)’ = 2x + 0 = 2x.

1. Вычислим производную от «(x^{(3 / 2)} - 3)’»:

• производная от «x^{(3 / 2)}» – это будет «(3 / 2) * x^{((3 / 2) – 1)} = (3 / 2) * x^{(1 / 2)} = 3√x / 2»;
• «3» – это const, то есть согласно правила дифференцирования «3» остается;
• следовательно, у нас получается, что (x^{(3 / 2)} - 3)’ = (x^{(3 / 2)})’ – (3)’ = (3√x / 2) – 0 = 3√x / 2.

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)\' = ((x² + 1) / (x^{(3 / 2)} - 3))’ = ((x² + 1)’ * (x^{(3 / 2)} - 3) – (x² + 1) * (x^{(3 / 2)} - 3)’) / (x^{(3 / 2)} - 3)² =

(2x * (√x³ - 3) – (x² + 1) * (3√x / 2)) / (√x³ - 3)² = (2x² – 6x – (3√x³ / 2) – (3√x / 2)) / (√x³ - 3)².

Выходит, что наша производная данной функции будет выглядеть таким образом:

f(x)\' = (x)\'  = ((x² + 1) / (x^{(3 / 2)} - 3))’ = ((x² + 1)’ * (x^{(3 / 2)} - 3) – (x² + 1) * (x^{(3 / 2)} - 3)’) / (x^{(3 / 2)} - 3)² = (2x² – 6x – (3√x³ / 2) – (3√x / 2)) / (√x³ - 3)².

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(x)\' = (2x² – 6x – (3√x³ / 2) – (3√x / 2)) / (√x³ - 3)².