Решить уравнение: 9sin x cos x - 7cos^2x=2sin^2x

Перенесем все в левую часть:

9sinxcos x - 7cos²x - 2sin²x = 0.

Поделим уравнение на cos²x (ОДЗ: cosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn).

9tgx - 7 - 2tg²x = 0.

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

9а - 7 - 2а² = 0.

-2а² + 9а - 7 = 0.

Умножим уравнение на (-1).

2а² - 9а + 7 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2; b = -9; c = 7;

D = b² - 4ac; D = (-9)² - 4 * 2 * 7 = 81 - 56 = 25 (√D = 5);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (9 - 5)/4 = 4/4 = 1.

а₂ = (9 + 5)/4 = 14/4 = 3,5.

Вернемся к замене tgx = а.

а = 1; tgx = 1; х = П/4 + Пn, n - целое число.

а = 3,5; tgx = 3,5; х = arctg(3,5) + Пn, n - целое число.