Производные f(x)=x³/(x²-2x-8)

Найдём производную данной функции: f(x) = x^3 / (x^2 - 2x - 8).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (x^3)’ = 3 * х^(3-1) = 3 * х^2 = 3х^2;

2) (x^2 - 2x - 8)’ = (x^2)’ – (2x)’ – (8)’ = 2 * x^(2 - 1) – (2 * 1 * x^(1 - 1) – 0 = 2x^1 – 2x^0 = 2x – 2.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = (x^3 / (x^2 - 2x - 8))’ = ((x^3)’ * (x^2 - 2x - 8) - (x^3) * (x^2 - 2x - 8)’) / (x^2 - 2x - 8)^2 = (3х^2) * (x^2 - 2x - 8) - (x^3) * (2x – 2)) / (x^2 - 2x - 8)^2 = (3х^4 - 6х^3 - 24х^2 - 2х^4 + 2х^3) / (x^2 - 2x - 8)^2 = (х^4 - 4х^3 - 24х^2) / (x^2 - 2x - 8)^2.

Ответ: f(x)\' = (х^4 - 4х^3 - 24х^2) / (x^2 - 2x - 8)^2.