В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна 10 см, а расстояние от середины гипотенузы до основания

Произведем чертеж.

https://bit.ly/2rcxxeY

Треугольник СНМ прямоугольный (СН - высота), по теореме Пифагора:

СН² = CM² - MH² = 100 - 36 = 64. СН = √64 = 8 (см).

В прямоугольном треугольнике АВС медиана СМ равна половине гипотенузы АВ: АВ = 10 * 2 = 20 (см). АМ = ВМ = 10 (см).

Рассмотрим треугольник АСН: угол Н = 90°, СН = 8 см, АН = АМ + МН 10 + 6 = 16 (см).

По теореме Пифагора: АС² = AH² + CH² = 16² + 8² = 256 + 64 = 320. АС = √320 = 8√5 (см).

Рассмотрим треугольник ВСН: угол Н = 90°, СН = 8 см, ВН = ВМ - МН = 10 - 6 = 4 (см).

По теореме Пифагора: ВС² = CH² + BH² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80. ВС = √80 = 4√5 (см).

Периметр треугольника АВС равен:

Р = АВ + АС + ВС = 20 + 8√5 + 4√5 = 20 + 12√5 (см).