Решить неравенство 8^(2x-1)+8^(x+1)-72<0

Распишем составные степени:

8^{(2x - 1)} + 8^{(x + 1)} - 72 < 0.

8^2x * 8^(-1) + 8^x * 8 - 72 < 0.

1/8 * (8^x)² + 8 * 8^x - 72 < 0.

Введем новую переменную, пусть 8^x = а.

1/8 * а² + 8а - 72 < 0.

Рассмотрим функцию у = 1/8 * а² + 8а - 72, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 1/8 * а² + 8а - 72 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1/8; b = 8; c = -72;

D = b² - 4ac; D = 8² - 4 * (1/8) * (-72) = 64 + 36 = 100 (√D = 10);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (-8 - 10) : (2 * 1/8) = -18 : 1/4 = -18 * 4 = -72.

а₂ = (-8 + 10) : 1/4 = 2 * 4 = 8.

Отмечаем на числовой прямой точки -72 и 8, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-72; 8).

Значит, а > -72; a < 8.

Вернемся к замене 8^x = а.

а > -72; 8^x > -72 (верное неравенство, 8 в любой степени положительно).

а < 8; 8^x < 8; 8^x < 8¹; х < 1.

Ответ: решение неравенства: (-∞; 1).