Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями у=-х^2-4x и y=4+x

Найдем точки пересечения линий, для этого приравняем их уравнения друг к другу:

-x ^2 - 4x = 4 + x;

x^2 + 5x + 4 = 0;

x12 = (-5 +- √(5^2 - 4 * 4)) / 2= (-5 +- 3) / 2;

x1 = (-5 + 3) / 2 = -1; x2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Тогда площадь S, образованна заданными линиями, будет равна разности интегралов:

S = ∫(-x^2 - 4x) * dx|-4; -1 - ∫(4 + x) * dx|-4; -1 = (-1/3x^3 - 2x^2)|-4;-1 - (4x + 1/2x^2)|-4;-1 = (-1/3x^3 -5/4x^2 - 4x)|-4;-1 = (1/3 - 5/4 + 4) - (-64/3 - 20 + 20) = -11/12 + 4 + 64/3 = 257/12.