При каких значениях параметра "а" уравнение имеет один действительный корень2^(-2(x+1))-(1\2)^(x-2)=4a

   1. Приведем уравнение к каноническому виду:

      2^(-2(x + 1)) - (1\\2)^(x - 2) = 4a;

      2^(-2(x + 1)) - 2^(-x + 2) = 4a;

      2^(-2(x + 1)) - 2^(-(x + 1) + 3) = 4a;

      2^(-2(x + 1)) - 8 * 2^(-(x + 1)) - 4a = 0. (1)

   2. Обозначим:

      2^(-(x + 1)) = z. (2)

   Уравнение (2):

• при z ≤ 0 - не имеет корней;
• при z > 0 - имеет один корень.

   3. Подставим значение выражения в уравнение (1):

      z^2 - 8z - 4a = 0;

      D/4 = 4^2 + 4a = 16 + 4a = 4(a + 4);

   a) при a < -4 уравнение не имеет корней;

   b) при a = -4 уравнение имеет один положительный корень:

      z = 4;

   c) при a > -4 уравнение имеет два корня:

      z = 4 ± √(D/4) = 4 ± √(4(a + 4)) = 4 ± 2√(a + 4).

   Больший корень всегда положительный, меньший же - меньше или равен нулю при условии:

      4 - 2√(a + 4) ≤ 0;

      √(a + 4) ≥ 2;

      a + 4 ≥ 4;

      a ≥ 0;

      a ∈ [0; ∞).

   Ответ: {-4} ∪ [0; ∞).