Найдите наименьшее значение функции Y=-x^3+3x+7 на [-3;3]

1) Вычислим производную данной функции:

у = -x³ + 3x + 7.

у\' = -3х² + 3.

2) Приравняем производную к нулю.

у\' = 0; -3х² + 3 = 0; -3х² = -3; х² = 1; х = -1 и х = 1.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; -1) пусть х = -2, у\' = -3 * (-2)² + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0, у\' = -3 * 0 + 3 = 3. Производная положительна, функция возрастает.

(1; +∞) пусть х = 2, у\' = -3 * 2² + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

4) Находим точки экстремума. Получается х_min = -1 (точка минимума) и х_max = 1 (точка максимума). Обе точки входят в промежуток [-3; 3].

5) Вычислим минимальное значение функции в точке х_min = -1.

у = -x³ + 3x + 7 = -(-1)³ + 3 * (-1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-3; 3] равно 5.