Найдите наименьшее значение функции у = 4^x^2+6x+11

   1. Вычислим производную функции и найдем критическую точку:

      у = 4x^2 + 6x + 11;

      y\' = 8x + 6;

      8x + 6 = 0;

      8x = -6;

      x = -6/8 = -3/4, критическая точка.

   2. Знаки производной в промежутках:

   a) x ∈ (-∞; -3/4);

      y\'(-1) = 8 * (-1) + 6 = -8 + 6 = -2 < 0, функция убывает;

   b) x ∈ (-3/4; ∞);

      y\'(0) = 8 * 0 + 6 = 6 > 0, функция возрастает.

   В точке x = -3/4 функция от убывания переходит к возрастанию, значит, эта точка минимума, в которой функция принимает наименьшее значение:

      y(min) = y(-3/4) = 4 * (-3/4)^2 + 6 * (-3/4) + 11 = 4 * 9/16 - 18/4 + 11 = 9/4 - 9/2 + 11 = 44/4 - 9/4 = 35/4.

   Ответ: 35/4.