Разложите на множители 1)6x²y²-6x⁴; 2)-9m²+9n²; 3)25c²-1; 4)242c⁴-2k⁴; 5)192a³y²-3a; 6)9k¹²-30k⁶t⁵+25t¹⁰; 7)3m⁶y+18m³y⁵+27y⁹;

Решение:

Каждое выражение разложим на множители с помощью формулы а² - b² = (a - b)(а + b), при необходимости сначала будем выносить общий множитель за скобку:

1). 6x²y² - 6x⁴ = 6((xy)² – (x²)²) = 6(xy – x²)(xy + x²).

2). - 9m² + 9n² = 9(n² – m²)= 9(n – m)(n + m).

3). 25c² – 1 = (5c)² – 1 = (5c – 1)(5c + 1).

4). 242c⁴ - 2k⁴ = 2((11c²)² – (k²)²) = 2(11c² – k²)(11c² + k²).

5). 192a³y² - 3a = 3а(64a²y² - 1) = 3а((8ay)² - 1) = 3а(8ay - 1)(8ay + 1).

10). d² - b² + d – b = (d – b)(d + b) + d – b = (d – b)(d + b + 1).

11). d⁸ - d⁶ + d² – 1 = (d⁸ - d⁶) + (d² – 1) =  d⁶ (d² - 1) + (d² – 1) = (d² – 1)( d⁶ + 1) = (d – 1)(d + 1) ( d⁶ + 1).

16). (7a² - 4b²)² - (3a² + 8b²)² = (7a² - 4b² - (3a² + 8b²))(7a² - 4b² + 3a² + 8b²) = (7a² - 4b² - 3a² - 8b²)(10a² + 4b²) = 2(4a² - 12b²)(5a² + 2b²) = 8(a² - 3b²)(5a² + 2b²) = 8(a - √3b) (a + √3b) (5a² + 2b²).

17). (n³ + 1)² - (n² + 1)² = (n³ + 1 - (n² + 1))(n³ + 1 + n² + 1) = (n³ + 1 - n² - 1)(n³ + 1 + n² + 1) = (n³ - n²)(n³ + n² + 2) = n² (n - 1)(n³ + n² + 2).

Для разложения этих выражений будем использовать формулы квадрата суммы (а + b)² = (а² + 2ab + b²) и квадрата разности (а - b)² = (а² - 2ab + b²), вынесение общего множителя за скобку:

6). 9k¹² - 30k⁶t⁵ + 25t¹⁰ = (3k⁶)² – 2 ∙ 3 ∙5k⁶t⁵ + (5t⁵)² = (3k⁶ - 5t⁵)².

7). 3m⁶y + 18m³y⁵ + 27y⁹ = 3y(m⁶ + 6m³y⁴ + 9y⁸) = 3y((m³)² + 2 ∙ 3m³y⁵ + (3y⁴)²) = 3y(m³ + 3y⁴)².

8). d + 2cd + c²d = d(1 + 2cd + c²) = d(1 + c)².

9). – 1 - 121a²b² + 22ab = - (1 + 121a²b² - 22ab) = - (1 – 2 ∙ 11ab + (11ab)²) = - (1 – 2 ∙ 11ab + (11ab)²) = - (1 –11ab)².

Чтобы разложить эти выражения, необходимо применить сначала формулу квадрата разности (а - b)² = (а² - 2ab + b²), а затем разность квадратов а² - b² = (a - b)(а + b):

12). d² - 10dk + 25k² - t² = (d² – 2 ∙ 5dk + (5k)²) - t² = (d² – 2 ∙ 5dk + (5k)²) - t² = (d² – 5k)² - t² = (d² – 5k – t)( d² – 5k + t);

13). p² - m² + 14m – 49 = p² – (m² - 14m + 49) = p² – (m² – 2 ∙ 7m + 7²) = p² – (m + 7)² = (p – m - 7)(p + m - 7).

14). x² - 2ax + a² - n² = (x² - 2ax + a²) - n² = (x – a)² - n² = (x – a – n)(x – a + n).

15). (4m² - 20mn + 25n²) – 36 = ((2m)² – 2 ∙ 2 ∙ 5mn + (5n)²) – 36 = (2m - 5n)² – 6² = (2m - 5n – 6)(2m - 5n + 6).