Найти промежутки возрастания и убывания. f(x)=x^3-x^2-x+2

Найдем промежутки возрастания и убывания с помощью производной. На тех промежутках, где производная положительна функция возрастает, а на тех промежутках, где производная отрицательна функция убывает.

f(x) = x³ - x² - x + 2;

f\'(x) = 3x² - 2x - 1.

Найдем нули производной функции.

3x² - 2x - 1 = 0;

D = b² - 4ac;

D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 16; √D = 4;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (2 + 4)/(2 * 3) = 6/6 = 1;

x2 = (2 - 4)/6 = -2/6 = -1/3.

Отметим на числовой прямой точки (-1/3) и 1. Они делят прямую на три интервала: 1) (-∞; -1/3), 2) (-1/3; 1), 3) (1; +∞). 

На 1 и 3 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные. Значит, на 1 и 3 интервалах функция возрастает, а на 2 интервале - убывает.

Ответ. Возрастает на (-∞; -1/3) и (1; +∞). Убывает на (-1/3; 1).