1. Упростите выражение: а) (х - 3) (х - 7) - 2х (3х - 5); б) 4а (а - 2) - (а - 4)2; в) 2 (т + 1)2 - 4m. • 2. Разложите

1) а) Раскрываем скобки:

(х - 3)(х - 7) - 2х(3х - 5) = x² - 3x - 7x + 21 - 6x² + 10x.

Подведем подобные слагаемые:

x² - 3x - 7x + 21 - 6x² + 10x = -5x² + 21.

б) 4а(а - 2) - (а - 4)² = 4a² + 8a - (a² - 8a + 16) = 4a² + 8a - a² + 8a - 16.

Подведем подобные слагаемые:

4a² + 8a - a² + 8a - 16 = 3a² + 16а - 16.

в) 2(m + 1)² - 4m = 2(m² + 2m + 1) - 4m = 2m² + 4m + 2 - 4m = 2m² + 2.

2) а) Вынесем х за скобку:

х³ - 9х = х(х² - 9).

Скобку можно разложить на две скобки по формуле разности квадратов:

х(х² - 9) = х(х² - 3²) = х(х + 3)(х - 3).

б) Вынесем (-5) за скобку:

-5а² - 10аb - 5b² = -5(а² + 2аb + b²).

Свернем скобку по формуле квадрата суммы:

-5(а² + 2аb + b²) = -5(a + b)².

3) Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

(у² - 2у)² - у²(у + 3)(у - 3) + 2у(2у² + 5) = у⁴ - 4у³ + 4у² - у²(у² - 9) + 4у³ + 10y = у⁴ - 4у³ + 4у² - у⁴ + 9у² + 4у³ + 10y = 13у² + 10y.

4) а) Представим одночлены в виде квадратов и разложим на скобки по формуле разности квадратов:

16х⁴ - 81 = (4х²)² - 9² = (4х² - 9)(4х² + 9) = ((2х)² - 3²)(4х² + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4х² + 9).

б) х² - х - у² - у = х² - у² - х - у = (x - y)(x + y) - (x + y).

Вынесем (х + у) за скобку:

(x - y)(x + y) - (x + y) = (х - у - 1)(х + 1).

5) Рассмотрим функцию у = х² - 4х + 9. Это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью х: у = 0; х² - 4х + 9 = 0.

D = 16 - 36 = -20 (нет корней), то есть нет точек пересечения с осью х. Парабола находится над осью х (так как ветви вверх), значит, значение выражения всегда положительно при любом значении х.

В данных примерах потребуется умение раскрывать скобки. При раскрытии двух неравных скобок нужно умножать каждый одночлен в первой скобке на каждый одночлен во второй скобке, учитывая знаки одночленов. Правило раскрытия смотри на схеме.

https://bit.ly/2JGstqB

Аналогично раскрываются скобки, если перед скобкой только один одночлен: 2(a + b) = 2 * a + 2 * b.

• Формула квадрата суммы (а + b)² = a² + 2ab + b².
• Формула квадрата разности (а - b)² = a² - 2ab + b².
• Формула разности квадратов (а - b)(а + b) = а² - b².
• Вынесение за скобку общего множителя: ax + ay + az = a(x + y + z).
• Если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобок все одночлены в скобке меняют свой знак.

1 задание. а) Раскрываем скобки по схеме:

(х - 3)(х - 7) - 2х(3х - 5) = х * х - 3 * х - 7 * х - 3 * (-7) - 2х * 3х - 2х * (-5) = х² - 3х - 7х + 21 - 6х² + 10х.

Подводим подобные слагаемые:

х² - 6х² = -5х²;

-3х - 7х + 10х = -10х + 10х = 0;

Получается выражение -5х² + 21.

б) 4а(а - 2) - (а - 4)² = 4а² - 8a - (a² - 8a + 16) = 4а² - 8a - a² + 8a - 16 = 3a² - 10.

в) 2(m + 1)² - 4m = 2(m² + 2m + 1) - 4m = 2m² + 4m + 2 - 4m = 2m² + 2.

2 задание.

а) Как видно, у обоих одночленов есть общий множитель х, вынесем его за скобку:

х³ - 9х = х(х² - 9).

Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

х(х² - 9) = х(х² - 3²) = х(х - 3)(х + 3).

б) -5а² - 10аb - 5b² = -5(а² + 2аb + b²). Здесь нужна формула квадрата суммы:

-5(а² + 2аb + b²) = -5(a + b)².

3 задание.

Воспользуемся формулой квадрата разности (первая скобка) и формулой разности квадратов (вторые скобки).

(у² - 2у)² - у²(у + 3)(у - 3) + 2у(2у² + 5) = у⁴ - 4у³ + 4у² - у²(у² - 9) + 2у(2у² + 5) = у⁴ - 4у³ + 4у² - у⁴ + 9y² + 4y³ + 10y = 13y² + 10y.

4 задание.

а) Чтобы разложить на множители, представим оба одночлена в виде квадратов.

16х⁴ - 81 = (4x²)² - 9² = (4x² - 9)(4x² + 9).

б) Разложим на множители методом группировки:

х² - х - у² - у = х² - у² - х - у = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1).

5 задание.

Рассмотрим функцию у = х² - 4х + 9. Это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью х.

у = 0; х² - 4х + 9 = 0.

D = (-4)² - 4 * 1 * 9 = 16 - 36 = -20 (D < 0, нет корней).

Нет точек пересечения с осью х, парабола вся расположена выше оси х (так как ветви смотрят вверх), над осью х значение у всегда положительно.

Следовательно, х² - 4х + 9 > 0.