Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительными членами, зная, что b2=0,04 и b4= 0,16.

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия;

b₂ = 0,04; b₄ = 0,16;

Найти: S₉ - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов;

Согласно этой формуле выразим второй, четвертый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 – 1) = b₁ * q;

b₄ = b₁ * q^(4 – 1) = b₁ * q^3.

Составим систему уравнений:

b₁ * q = 0,04,               (1)

b₁ * q^3 = 0,16            (2)

Из (1) уравнения системы выразим b₁:

b₁ = 0,04 / q;

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

0,04 / q * q^3 = 0,16;

0,04 * q^2 = 0,16;

q^2 = 4;

q = ±2.

Сразу определяем, что из двух полученных, заданной прогрессии удовлетворяет положительное значение знаменателя, т.к. по условию геометрическая прогрессия (b_n) с положительными членами.

Подставляем полученное значение знаменателя прогрессии в выражение для нахождения первого члена:

b₁ = 0,04 / 2;

b₁ = 0,02.

Запишем формулу девятого члена прогрессии:

b₉ = b₁ * q^(9 – 1) = b₁ * q^8 = 0,02* 2^8 = 256.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1),

т.о. S₉ = (b₉ * q – b₁) / (q – 1) = (256 * 2 – 0,02) / (2 – 1) = 511,98.

Ответ: S₉ = 511,98.