(log x по основанию 0,5)+3log xпо основанию 0,5 - 4<=0

Решение:

Для достижения результата помогут формулы:

1. log _a x ^p= p · log _a x;
2. log _a (x · y) = log _a x + log _a y;
3. log _{a (}x / y) = log _a x - log _a y.

log _0,5 (x) + 3log _0,5 (x) - 4 ≤ 0;

ОДЗ: x>0;

log_0,5 (x) + log _0,5 (x³) - log _0,5 (0,5⁴) ≤ 0;

log_0,5 [x· (x³) / (¹ / ₁₆)] ≤ 0;

16 · x⁴ ≤ 0,5⁰;

16 · x⁴ ≤ 1;

x⁴ - ¹ / ₁₆ ≤ 0;

(x² - ¹ / ₄)(x² + ¹ / ₄) ≤ 0;

(x - ¹ / ₂)(x + ¹ / ₂)(x² + ¹ / ₄) ≤ 0;

Выражение x² + ¹ / ₄ всегда ≥ 0, а произведение (x - ¹ / ₂)(x + ¹ / ₂) ≤ 0 при Х ∈ [- ¹ / ₂; ¹ / ₂].

Объединяя результат с ОДЗ: x > 0, получаем что Х ∈ (0; ¹ / ₂].

Ответ: Х ∈ (0; ¹ / ₂].