Разложите на множители многочлен: а) x^3-5x+2 б) y^8+y^4+1

Решение:

a). Подбирая возможные корни, определяем, что х = 2 - корень многочлена x³ - 5x + 2. Прибавляем и вычитаем 8, чтобы применить формулу разности кубов а³ - b³ = (a - b)(а² + ab + b²):

(x³ - 8) + 8 - 5x + 2 = (x - 2)( x² + 2х + 4) + 10 – 5х.

Вынесем общий множитель (- 5) за скобку:

(x - 2)( x² + 2х + 4) - 5(х - 2).

Вынесем общий множитель (х - 2) за скобку:

(x - 2)( x² + 2х + 4 - 5) = (x - 2)(x² + 2х - 1).

Решим квадратное уравнение:

x² + 2х – 1 = 0;

D = b² - 4ac = 4 - 4 · (-1) = 8;

x₁ = ^{(- b - √ D)} / _(2a) = ^{(- 2 - √8)} / ₂ = ^{(- 2 - 2√2)} / ₂ =  - 1 - √2 = - (1 + √2);

x₂ = ^{(- b + √ D)} / _(2a) = ^{(- 2 + √8)} / ₂ = ^{(- 2 + 2√2)} / ₂ =  - 1 + √2 = - (1 - √2).

Таким образом:

(x - 2)(x² + 2х - 1) = (x - 2)(x + (1 + √2))(х + (1 - √2)).

Ответ: (x - 2)(x² + 2х - 1) = (x - 2)(x + 1 + √2)(х + 1 - √2).

б). Прибавим и вычтем y⁴ и воспользуемся квадратом суммы (а + b)² = (а² + 2ab + b²):

y⁸ + y⁴ + 1 + y⁴ - y⁴ = (y⁸ + 2y⁴ + 1) - y⁴ = (y⁴ + 1)² - y⁴.

По формуле разности квадратов:

(y⁴ + 1)² – (y²) ² = (y⁴ + 1 – y²)(y⁴ + 1 + y²).

Заменив y² = t, определяем, что уравнения t² – t + 1 = 0 и t² + t + 1 = 0 корней не имеют, т.к. D = b² - 4ac = - 3.

Ответ: y⁸ + y⁴ + 1 = (y⁴ + 1 – y²)(y⁴ + 1 + y²).