Найдите первый член геометрической прогрессии,если q=3/4,S4=350

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия;

S₄ = 350; q = 3/4;

Найти: b₁ - ?

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1), т.е. S₄ = (b₄ * q – b₁) / (q – 1).

Т.е. (b₄ * 3/4 – b₁) / (3/4 – 1) = 350;

       (b₄ * 3/4 – b₁) / (-1/4) = 350;

       b₄ * 3/4 – b₁ = -87,5.                         (1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов;

Согласно этой формуле выразим четвертый член заданной прогрессии:

b₄ = b₁ * q^(4 – 1) = b₁ * q^3 = b₁ * (3/4)^3 = 27b₁ / 64.                  (2)

Из выражений (1) и (2) составим систему уравнений:

b₄ * 3/4 – b₁ = -87,5,           (1)

b₄ = 27b₁ / 64                      (2)

Решим данную систему, подставив (2) уравнение в (1):

(27b₁ / 64) * 3/4 – b₁ = -87,5;

81b₁ / 256 – b₁ = -87,5;

(81b₁ – 256b₁) / 256 = -87,5;

-175b₁ = -22400;

b₁ = 128.

Подставив полученное значение b₁ во (2) уравнение системы, найдём b₄ = 27b₁ / 64 = 27 * 128 : 64 = 54.

Ответ: b₁ = 128.