№1 В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 15см и 8см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью

1. Решение. Пусть a, b, c = H - измерения прямоугольного параллелепипеда. a=15 см, b=8 см, с найти.

 Обозначим через m - диагональ основания параллелепипеда , тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :m² = 15² + 8² , m² = 259, m = 17 см.Рассмотрим прямоугольный треугольник , стороны которого диагональю основания  m , высотой параллелепипеда H  и диагональю параллелепипеда .

m и H катеты , а  по условию угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания 45°. Отсюда следует , что треугольник  - прямоугольный равнобедренный.

S _бок = P_осн * HS_бок = 2 * (15+8) * 17 = 782 см²

S_полн = S_бок + 2 * S_осн = 782 + 2 * 15 * 8 = 1022 см²

Ответ: 782 см², 1022 см²

2. Решение. Пусть у нас куб ABCDA1B1C1D1 ( нижняя грань ABCD ).

Рассмотрим треугольники D1DB и ADB : пусть а-ребро куба , тогда 

AD = AB = a, угол DAB = 90 гр, так как куб, следовательно, по теореме Пифагора DB = а * √2.

Рассмотрим треугольник  D1DB:

угол D1DB = 90°, так как куб и плоскости граней перпендикулярны . DD1 = a , DB = a * √2 , D1B = 6 .

По теореме Пифагора 6 в квадрате = а² * (а *√2)² , отсюда а = √12.  

Ответ: √12.

Угол между прямо и плоскость это угол между прямой и проекцией это прямой на плоскость. Проекцией прямой D1B на плоскость ABCD будет DB ,  значит нам нужен cos (∠D1BD) .

cos a = отношению прилежащего катета к гипотенузе

cos (∠D1BD) = DB / BD1

cos (∠D1BD) = а * √(2 / 6) = а * √(2 / 12) = а / √6

Ответ: а / √6