Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов равна -28. Найти

Воспользуемся формулой  n – ого члена геометрической.

b_n = b₁ * q^n-1.

Тогда по условию:

b₅ – b₄ = 168.

b₃ + b₄ = -28.

Сложим два равенства.

b₅ + b₃ = 140.

b₁ * q⁴ + b₁ * q² = 140.

b₁ * q² * (q² + 1) = 140. (1)

b₁ * q² + b₁ * q³ = -28.

b₁ * q² * (q + 1) = - 28. (2).

Разделим равенство (1) на равенство (2).

(q² + 1) / (q + 1) = -5.

q² + 1 = -5 * q – 5.

q² + 5 * q + 6 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = 5² – 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

q₁ = (-5 – √1) / (2 * 1) = (-5 – 1) / 2 = -6 / 2 = -3.

q₂ = (-5 + √1) / (2 * 1) = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2.

b₁  = - 28 / (q² * (q + 1)).

Если q = -3, то

b₁  = - 28 / (-3² * (-3 + 1)) = -28 / (-18) = 14 / 9.

Если q = -2, то

b₁  = - 28 / (-2² * (-2 + 1)) = -28 / (-4) = 7.

Ответ: Если q = -3, то b₁  = 14 / 9.

           Если q = -2, то b₁  = 7.