Разложите на множители 1)81-(x^2+6x)^2, 1)c^2+4c+4-k^2, 3)a^2-b^2-10b-25.

Решение:

1). Раскладываем как разность квадратов а² – b² = (a – b)(а + b), потом одну из скобок «сворачиваем» как квадрат разности:

81 – (х² + 6х)² = (9 – х² – 6х)(9 + х² + 6х) = (х² + 6х + 9)(– х² – 6х + 9) = (х + 3)²(– х² – 6х + 9).

Найдём корни квадратного уравнения – х² – 6х + 9 = 0:

– х² – 6х + 9 = 0;

D = b² – 4ac = (– 6)² – 4 ∙ (– 1) ∙ 9 = 36 + 36 = 72;

x₁ = ^{(– b – √ D)} / _(2a) = ^{(6 – √ 72)} / _–2 = ^{(6 – 6√ 2)} / _–2 = – 3 + 3√ 2 = – (3 – 3√ 2);

x₂ = ^{(– b + √ D)} / _(2a) = ^{(6 + √ 72)} / _–2 = ^{(6 + 6√ 2)} / _–2 = – 3 – 3√ 2 = – (3 + 3√ 2) .

Итоговое разложение на множители будет выглядеть так:

(х + 3)²(х + 3 – 3√ 2)(х + 3 + 3√ 2).

2). Три первых слагаемых представляют квадрат суммы, упростим по формуле (а + b)² = (а² + 2ab + b²):

(с² + 4с + 4) – k² = (с + 2)² – k².

Разложим по формуле а² – b² = (a – b)(а + b):

(с + 2)² – k² = (с + 2 – k)(с + 2 + k).

3). Выражение b² + 10b + 25 является разложением формулы (а + b)² = (а² + 2ab + b²), упростим его:

а² – (b² + 10b + 25) = а² – (b + 5)².

С помощью разности квадратов а² – b² = (a – b)(а + b) раскладываем на множители:

а² – (b + 5)² = (а – b – 5) (а + b + 5).

Ответ: 1). 81 – (х² + 6х)² = (х + 3)²(х + 3 – 3√ 2)(х + 3 + 3√ 2); 2). (с² + 4с + 4) – k² = (с + 2)² – k²; 3). а² – (b² + 10b + 25) = (а – b – 5) (а + b + 5).