В арифметической прогрессии сумма первых восьми членов равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200, то сумма первых

Дано: (a_n) – арифметическая прогрессия;

S₈ = 32; S₂₀ = 200;

Найти: S₂₈ - ?

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2, значит S₈ = (a₁ + a₈) * 8 / 2 = 32,

отсюда a₁ + a₈ = 32 / 8 * 2 = 8.

S₂₀ = (a₁ + a₂₀) * 20 / 2 = 200, отсюда a₁ + a₂₀ = 200 / 20 * 2 = 20.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + d * (n - 1).

Выразим a₈ и a₂₀:

a₈ = a₁ + d * (8 - 1) = a₁ + 7d,

a₂₀ = a₁ + d * (20 - 1) = a₁ + 19d.

Т.о. a₁ + a₈ = a₁ + a₁ +7d = 2a₁ +7d, a₁ + a₂₀ = a₁ + a₁ +19d = 2a₁ + 19d.

Составим и решим систему уравнений:

2a₁ + 7d = 8,          (1)

2a₁ + 19d = 20       (2)

Выразим из (1) уравнения 2a₁ = 8 - 7d, подставим это выражение во (2) уравнение:

8 - 7d + 19d = 20 , отсюда  12d = 12 и, значит,  d = 1.

Подставляем полученное значение d в (1) уравнение и находим a₁:

2a₁ + 7 * 1 = 8;

2a₁ = 1;

a₁ = 0,5.

Найдём a₂₈ = a₁ + 27d = 0,5 + 27 = 27,5.

Теперь вычислим S₂₈ = (a₁ + a₂₈) * 28 / 2 = (0,5 + 27,5) * 28 / 2 = 392.

Ответ: S₂₈ = 392.