Исследуйте функцию y=4lnx-x^2/2 на монотонность и экстремумы

   1. Область определения функции:

• x > 0;
• x ∈ (0; ∞).

   2. Найдем критические точки функции, вычислив производную функции:

• y = 4lnx - x^2/2;
• y\' = 4/x - x;

• 4/x - x = 0;
• (4 - x^2)/x = 0;
• (2 - x)(2 + x) = 0;
• x = -2 ∉ (0; ∞);
• x = 2 - критическая точка.

   3. Промежутки монотонности:

• a) x ∈ (0; 2), y\' > 0, функция возрастает;
• b) x ∈ (2; ∞), y\' < 0, функция убывает.

   4. Экстремумы функции:

   В точке x = 2 функция от возрастания переходит к убыванию, следовательно:

      x = 2 - точка максимума.

   Ответ:

• a) функция возрастает на промежутке (0; 2];
• b) функция убывает на промежутке [2; ∞);
• c) x = 2 - точка максимума.