Сумма наибольшего и наименьшего значения функции y=(4sin3x+4cos3x)2

Имеем выражение:

(4 * sin 3m + 4 * cos 3m)^2.

Раскрываем скобки:

(4 * sin 3m + 4 * cos 3m)^2 = 16 * sin^2 3m + 16 * cos^2 3m + 32 * sin 3m * cos 3m.

Первые два слагаемых группируем по формуле основного тригонометрического тождества, третье слагаемое преобразуем по формуле синуса двойного угла:

16 * (sin^2 3m + cos^2 3m) + 16 * 2 * sin 3m * cos 3m = 16 + 16 * sin 6m.

Синус независимо от аргумента принимает значения [-1; 1]. Запишем область значений в виде двойного неравенства:

-1 <= sin 6m <= 1;

Умножим на 16 и прибавим 16 ко всем частям:

0 <= 16 * sin 6m + 16 <= 32;

Сумма наибольшего и наименьшего значений выражения - 32.