Докажите, что при любом значении a верно неравенство cos^2 a + 9 > 6 cos a.

Произведя замену переменных cos(x) = t, получим неравенство:

t^2 + 9 > 6t;

t^2  - 6t + 9 > 0.

Найдем корни уравнения:

 t^2  - 6t + 9 = 0.

t12 = (6 +- √(36 - 4 * 9)) / 2 = 3.

Разложив на множители получим:

(t - 3)^2 > 0;

t  > 3.

Произведя обратную замену, получаем:

cos(x) > 3 - неравенство не имеет решений.

При любых значениях  x исходное  неравенство не верно.