Является ли арифметической прогрессией последовательность (аn), заданная формулой: 1) an =3n+1; 2) an=n^2-5; 3) an=n+4;

Если для каждого члена последовательности выполняется соотношение: а_n = (a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 (т.е. каждый член последовательности равен среднему арифметическому двух соседних ее членов), то данная последовательность является арифметической прогрессией. Проверим выполнение этого соотношения для каждого пункта задачи.

1)a_n = 3n + 1. Найдем формулу для n - 1-го и n + 1-го члена последовательности, подставив вместо n n – 1 и n + 1 соответственно:

a_{n – 1} = 3 * (n – 1) + 1 = 3 * n – 3 * 1 + 1 = 3n – 3 + 1 = 3n – 2;

a_{n + 1} = 3 * (n + 1) + 1 = 3 * n + 3 * 1 + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4.

Тогда (a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (3n – 2 + 3n + 4) / 2 = (6n + 2) / 2 = 3n + 1 = a_n – значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

2) a_n = n² – 5.

a_{n - 1} = (n – 1)² – 5 = n² + 1² – 2 *n * 1 – 5 = n² + 1 – 2n – 5 = n² – 2n – 4;

a_{n + 1} = (n + 1)² – 5 = n² + 1² + 2 *n * 1 – 5 = n² + 1 + 2n – 5 = n² + 2n – 4;

(a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (n² – 2n – 4 + n² + 2n – 4) / 2 = (2n² – 8) / 2 = n² – 4 ≠ a_n. Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

3) a_n = n + 4;

a_{n – 1} = (n – 1) + 4 = n – 1 + 4 = n + 3;

a_{n + 1} = (n + 1) + 4 = n + 1 + 4 = n + 5;

(a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (n + 3 + n + 5) / 2 = (2n + 8) / 2 = n + 4 = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

4) a_n = 1 / (n + 4);

a_{n – 1} = 1 / ((n – 1) + 4) = 1 / (n – 1 + 4) = 1 / (n + 3);

a_{n + 1} = 1 / ((n + 1) + 4) = 1 / (n + 1 + 4) = 1 / (n + 5);

(a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (1/(n + 3) + 1/(n + 5)) / 2 = ((n + 5 + n + 3)/(n + 3)(n + 5)) / 2 = ((2n + 8)/(n + 3)(n + 5)) / 2 = (n + 4)/(n + 3)(n + 5) ≠ a_n.  Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

5) a_n = 0,5n + 1;

a_{n – 1} = 0,5(n – 1) + 1 = 0,5n – 0,5 + 1 = 0,5n + 0,5;

a_{n + 1} = 0,5(n + 1) + 1 = 0,5n + 0,5 + 1 = 0,5n + 1,5;

(a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (0,5n + 0,5 + 0,5n + 1,5) / 2 = (n + 2) / 2 = 0,5n + 1 = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

6) a_n = 6n;

a_{n – 1} = 6 * (n – 1) = 6 * n – 6 * 1 = 6n – 6;

a_{n + 1} = 6 * (n + 1) = 6 * n + 6 * 1 = 6n + 6;

 (a_{n – 1} + a_{n + 1}) / 2 = (6n - 6 + 6n + 6) / 2 = (12n) / 2 = 6n = a_n - значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.