В треугольнике ABC угол C равен 90, высота CD=корень из 6, AD:BD=2:1. Найдите BC.

Решение. Обозначим |BD| = x, тогда  |AD| = 2x.

Известны следующие свойства.

1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла( на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника
2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).

Из этих свойств  следует, что |CD| = √|AD| * |DB|.   

Подставив  данные и условности получим: √6 = √(2x * x ) => x =√3.

|BD| = √3, тогда  |AD| = 2√3. |AB| = 3√3.

Теперь найдем требуемый катет. |BC| = √(|AB|² - |AC|²) = √(27 - 6) = √21 

Ответ . √21.