Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. Из точки a проведены две прямые, касающиеся

Решение задачи:

1. Представим графически задачу https://bit.ly/2s5l7Fj , где касательные от точки А образуют с окружностью равные прямоугольные треугольники ∆АМО = ∆АNО, в которых известно основание АО = 50 и высота на это основание МН = NH = МN : 2 = 48 : 2 = 24.

2. Для прямоугольного треугольника:

(ОМ ∙ МА) / АО = МН, отношение произведений катетов к основанию равно высоте на основание. Подставляем известные значения:

(ОМ ∙ МА) / 50 = 24,

МА = (50 ∙ 24) / ОМ,

МА = 1200 / ОМ.

3. В ∆АМО по теореме Пифагора:

МА² = АО² – ОМ²,

(1200 / ОМ)² = 50² - ОМ², перейдем ОМ = r – искомый радиус окружности,

(1200 / r)² = 50² - r², {домножим обе части равенства на r²},

(1200 / r)² * r² = (50² - r²) * r²,

1200² = 50² r² – r⁴,

r⁴ - 50² r² + 1200² = 0, {имеем биквадратное уравнение, делаем замену r² = R},

R² - 50² R + 1200² = 0,

D = 50² – 4 ∙ 1 ∙ 1200² = 6250000 – 5760000 = 490000 > 0, √490000 = 700,

R₁ = (2500 + 700) / 2 = 1600,

R₂ = (2500 - 700) / 2 = 900,

r₁ = ±√R₁ = ±√1600,

r₂ = ±√R₂ = ±√900, условию подходят только положительные корни,

r₁ = 40,

r₂ = 30.

По условию АМ < ОМ, тогда выбираем большое значение.

Ответ:  r = 40.